線形代数例

$[\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$

ステップ 2

サイズ $4$ の単位行列または恒等行列は $4 \times 4$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{4}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.9.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.10

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.10.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.10.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.12

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.12.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.12.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.13

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.13.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.13.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.14

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.14.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.14.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.15

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.15.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.15.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 5 - λ & 5 + 0 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 5 - λ & 5 + 0 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 5 - λ & 5 + 0 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & - 5 - λ & 5 + 0 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 + 0 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$5$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$5$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.7

$5$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.9

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.10

$- 5$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.11

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.12

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 5 & 5 \\ 5 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 2 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 5 & 5 \\ 5 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 2 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 5 & 5 \\ 5 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & 5 & 5 \\ 5 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 2 & 2 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.4

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5

$| \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 2 - λ & - 2 \end{array} |$

ステップ 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 2 - λ & - 2 \end{array} |$

ステップ 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 2 - λ & - 2 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 2 - λ & - 2 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 2 - λ & - 2 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) ((- 2 - λ) (2 - λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 - λ) (2 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 2 \cdot 2 - 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 2 \cdot 2 - 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 - 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.2

$2 λ$ から $2 λ$ を引きます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.3

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + λ^{2} + 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.2

$- 4 + λ^{2} + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.2.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.2.2

$λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) λ^{2} + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.1

$(- 5 - λ) λ^{2} + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.1.1

$(- 5 - λ) λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) λ^{2} + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.1.2

$(- 5 - λ) λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 5 λ^{2} - λ \cdot λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 5 λ^{2} - (λ^{2} λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 5 λ^{2} - (λ^{2} λ^{1})) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 5 λ^{2} - λ^{2 + 1}) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 5 λ^{2} - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.4

$- 5 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$(- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2}) + 0 + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$(- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2})$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2}) + 0 + 0$

ステップ 5.6.1.2

$(- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2})$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2}) + 0$

ステップ 5.6.1.3

$(- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2})$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 5 (- λ^{3} - 5 λ^{2}) - λ (- λ^{3} - 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.2.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 5 (- λ^{3}) - 5 (- 5 λ^{2}) - λ (- λ^{3} - 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.2.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 5 (- λ^{3}) - 5 (- 5 λ^{2}) - λ (- λ^{3}) - λ (- 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$p (λ) = 5 λ^{3} - 5 (- 5 λ^{2}) - λ (- λ^{3}) - λ (- 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.3.1.2

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ (- 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.3.1.4

指数を足して $λ$ に $λ^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.4.1

$λ^{3}$ を移動させます。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.3.1.4.2

$λ^{3}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.4.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.3.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.3.1.4.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + 1 λ^{4} - λ (- 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.3.1.6

$λ^{4}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - λ (- 5 λ^{2})$

ステップ 5.6.3.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ^{2}$

ステップ 5.6.3.1.8

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.8.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot - 5 (λ^{2} λ)$

ステップ 5.6.3.1.8.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.8.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot - 5 (λ^{2} λ^{1})$

ステップ 5.6.3.1.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot - 5 λ^{2 + 1}$

ステップ 5.6.3.1.8.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot - 5 λ^{3}$

ステップ 5.6.3.1.9

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} + 5 λ^{3}$

ステップ 5.6.3.2

$5 λ^{3}$ と $5 λ^{3}$ をたし算します。

$p (λ) = 10 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4}$

ステップ 5.6.4

$25 λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 10 λ^{3} + λ^{4} + 25 λ^{2}$

ステップ 5.6.5

$10 λ^{3}$ と $λ^{4}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{4} + 10 λ^{3} + 25 λ^{2}$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{4} + 10 λ^{3} + 25 λ^{2} = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$λ^{2}$ を $λ^{4} + 10 λ^{3} + 25 λ^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$λ^{2}$ を $λ^{4}$ で因数分解します。

$λ^{2} λ^{2} + 10 λ^{3} + 25 λ^{2} = 0$

ステップ 7.1.1.2

$λ^{2}$ を $10 λ^{3}$ で因数分解します。

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (10 λ) + 25 λ^{2} = 0$

ステップ 7.1.1.3

$λ^{2}$ を $25 λ^{2}$ で因数分解します。

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (10 λ) + λ^{2} \cdot 25 = 0$

ステップ 7.1.1.4

$λ^{2}$ を $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (10 λ)$ で因数分解します。

$λ^{2} (λ^{2} + 10 λ) + λ^{2} \cdot 25 = 0$

ステップ 7.1.1.5

$λ^{2}$ を $λ^{2} (λ^{2} + 10 λ) + λ^{2} \cdot 25$ で因数分解します。

$λ^{2} (λ^{2} + 10 λ + 25) = 0$

ステップ 7.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$λ^{2} (λ^{2} + 10 λ + 5^{2}) = 0$

ステップ 7.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

ステップ 7.1.2.3

多項式を書き換えます。

$λ^{2} (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 7.1.2.4

$a = λ$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$λ^{2} {(λ + 5)}^{2} = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ^{2} = 0$

${(λ + 5)}^{2} = 0$

ステップ 7.3

$λ^{2}$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$λ^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$λ^{2} = 0$

ステップ 7.3.2

$λ$ について $λ^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

ステップ 7.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 7.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$λ = \pm 0$

ステップ 7.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$λ = 0$

ステップ 7.4

${(λ + 5)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

${(λ + 5)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(λ + 5)}^{2} = 0$

ステップ 7.4.2

$λ$ について ${(λ + 5)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$λ + 5$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 5 = 0$

ステップ 7.4.2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$λ = - 5$

ステップ 7.5

最終解は $λ^{2} {(λ + 5)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 0, - 5$

線形代数 例

線形代数例